Question

選做題（考生只能從A、B、C題中選作一題）
A、已知直線x+2y-4=0與

x=2-3cosθ y=1+3sinθ

（θ為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=

 

．
B、若關(guān)于x的方程x²+4x+|a-1|+|a+1|=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．
C、如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，連接AC，若∠CAP=30°，
則PC=

 

cm．

Answer 1

分析：A、把圓的參數(shù)方程化為普通方程后，聯(lián)立直線和圓的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，設(shè)出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程即可得到橫坐標(biāo)之差的平方與縱坐標(biāo)之差的平方的關(guān)系，由韋達(dá)定理求出縱坐標(biāo)之差的平方，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出|AB|的長；
B、由關(guān)于x的方程有實(shí)根得到根的判別式大于等于0，列出關(guān)于a的不等式，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，畫出數(shù)軸即可得到a的取值范圍；
C、連接OC，得到OC垂直于PC，因?yàn)镺A等于OC，利用等邊對等角得到角PAC等于角ACO，利用三角形AOC的外角性質(zhì)可知角COP等于60°，即可得到角P等于30°，由圓的直徑等于6cm可得半徑OC等于3cm，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理即可求出PC的長．
三道題選作一題即可．

解答：解：A、把圓的方程化為普通方程得：（x-2）²+（y-1）²=9，
聯(lián)立直線與圓的方程得

x+2y-4=0 (x-2)2+(y-1)2=9

，消去x得到：5y²-10y-4=0
設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
而y₁+y₂=2，y₁y₂=-

4

5

，所以（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

36

5

，
把兩點(diǎn)代入直線方程得（x₁-x₂）²=4（y₁-y₂）²，
所以|AB|=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

5(y1-y2)2

=6；
B、由題意可知△=16-4（|a-1|+|a+1|）≥0，
即|a-1|+|a+1|≤4，表示數(shù)軸上一點(diǎn)a到1和-1的距離之和小于4，畫出數(shù)軸如下：

所以a∈[-2，2]；
C、連接OC，則OC⊥PC，
∵OA=OC，∴∠CAP=∠ACO=30°，
則∠COP=∠CAP+∠ACO=2∠CAP=60°，所以∠P=30°，
∵AB=6cm，∴OC=3cm，則OP=6cm，
所以PC=

62-32

=3

3

cm．
故答案為：A：6；B：[-2，2]；C：3

3

．
三道題選作一題即可．

點(diǎn)評：此題要求學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題，掌握圓及直角三角形的基本性質(zhì)，是一道多知識的綜合題．