(2013•佛山一模)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2an-2,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為a1,公差不為零的等差數(shù)列,且b1,b3,b11成等比數(shù)列.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)求證:
b1
a1
+
b2
a2
+
b3
a3
+…+
bn
an
<5.
分析:(1)由Sn=2an-2,分別令n=1,2,3可求a1,a2,a3
(2)n≥2時,由an=sn-sn-1可得an=2an-1,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求an,然后由b1=a1且b1,b3,b11成等比數(shù)列可求公差d,進(jìn)而可求通項(xiàng)
(3)令Tn=
b1
a1
+
b2
a2
+
b3
a3
+…+
bn
an
,代入結(jié)合項(xiàng)的特點(diǎn)考慮利用錯位相減求和先求出左邊的式子的和,然后可證明
解答:(本題滿分14分)
解:(1)∵Sn=2an-2,
∴當(dāng)=1時,a1=2a1-2,解得a1=2;
當(dāng)n=2時,S2=2+a2=2a2-2,解得a2=4;
當(dāng)n=3時,s3=a1+a2+a3=2a3-2,解得a3=8.-----------------(3分)
(2)當(dāng)n≥2時,an=sn-sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1,-----(5分)
得an=2an-1又,a1=2,
∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.-----------------(7分)
b1=a1=2,設(shè)公差為d,則由且b1,b3,b11成等比數(shù)列
得(2+2d)2=2(2+10d),-----------------(8分)
解得d=0(舍去)或d=3,----------------(9分)
∴bn=3n-1.-----------------(10分)
(3)令Tn=
b1
a1
+
b2
a2
+
b3
a3
+…+
bn
an

=
2
2
+
5
22
+…+
3n-1
2n
,
∴2Tn=2+
5
2
+
8
22
+…+
3n-1
2n-1
,-----------------(11分)
兩式式相減得Tn=2+
3
2
+
3
22
+…+
3
2n-1
-
3n-1
2n
=2+
3
2
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
-
3n-1
2n

=5-
3n+5
2n
,-----------------(13分)
3n+5
2n
 
>0,故:
b1
a1
+
b2
a2
+
b3
a3
+…+
bn
an
<5..-----------------(14)
點(diǎn)評:本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列,等比數(shù)列的通項(xiàng)公、性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用
,數(shù)列的錯位相減求和方法的應(yīng)用,適用具有一定的計(jì)算量
練習(xí)冊系列答案
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(2013•佛山一模)已知
a
=(1,2),
b
=(0,1),
c
=(k,-2),若(
a
+2
b
)⊥
c
,則k=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•佛山一模)對于函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n],同時滿足下列條件:
①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)的;
②當(dāng)定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n].
則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.若函數(shù)f(x)=
a+1
a
-
1
x
(a>0)
存在“和諧區(qū)間”,則a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•佛山一模)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每日的成本C(單位:元)與日產(chǎn)里x(單位:噸)滿足函數(shù)關(guān)系式C=3+x,每日的銷售額R(單位:元)與日產(chǎn)量x滿足函數(shù)關(guān)系式S=
3x+
k
x-8
+ 5.(0<x<6)
14 (x≥6)
,已知每日的利潤L=S-C,且當(dāng)x=2時,L=3
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時,毎日的利潤可以達(dá)到最大,并求出最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•佛山一模)
組別 候車時間 人數(shù)
[0,5) 2
[5,10) 6
[10,15) 4
[15,20) 2
[20,25] 1
城市公交車的數(shù)量太多容易造成資源的浪費(fèi),太少又難以滿足乘客需求,為此,某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機(jī)抽取15人,將他們的候車時間作為樣本分成5組,如下表所示(單位:min):
(1)求這15名乘客的平均候車時間;
(2)估計(jì)這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù);
(3)若從上表第三、四組的6人中選2人作進(jìn)一步的問卷調(diào)查,求抽到的兩人恰好來自不同組的概率.

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