Question

已知一條曲線(xiàn)C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程
（Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線(xiàn)C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線(xiàn)，都有

FA

•

FB

＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y）是曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，然后根據(jù)等量關(guān)系列方程整理即可．
（Ⅱ）首先由于過(guò)點(diǎn)M（m，0）的直線(xiàn)與開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，則設(shè)該直線(xiàn)的方程為x=ty+m（包括無(wú)斜率的直線(xiàn)）；然后與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立方程組，進(jìn)而通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程；再根據(jù)韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，實(shí)現(xiàn)

FA

•

FB

＜0的等價(jià)轉(zhuǎn)化；最后通過(guò)m、t的不等式求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y）是曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足：

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)
化簡(jiǎn)得y²=4x（x＞0）．
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（m，0）（m＞0）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)l的方程為x=ty+m，由

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0，△=16（t²+m）＞0，
于是

y1+y2=4t y1y2=-4m

①
又

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)．

FA

•

FB

＜0?（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0②
又x=

y2

4

，于是不等式②等價(jià)于

y12

4

•

y22

4

+y1y2-(

y12

4

+

y22

4

)+1＜0?

(y1y2)2

16

+y1y2-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1＜0③
由①式，不等式③等價(jià)于m²-6m+1＜4t²④
對(duì)任意實(shí)數(shù)t，4t²的最小值為0，所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m²-6m+1＜0，解得3-2

2

＜m＜3+2

2

．
由此可知，存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線(xiàn)C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線(xiàn)，都有

FA

•

FB

＜0，且m的取值范圍(3-2

2

，3+2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查向量知識(shí)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的相交問(wèn)題及代數(shù)運(yùn)算能力．