Question

【題目】已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為．

（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程及單調遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當x∈（，）時，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

【答案】(1) 對稱軸方程為得x=+，k∈Z，單調區(qū)間見解析;(2) 值域為（﹣，].

【解析】

（1）根據(jù)題意得到=，從而得到ω=1，f（x）=sin（2x+）+，令2x+=kπ+，求得x=+，即對稱軸；（2）根據(jù)圖像的變換得到g（x）=sin（4x﹣）+，當x∈（，）時，4x﹣∈（﹣，），結合函數(shù)的性質得到值域.

（1）∵函數(shù)

sin2ωx+=sin（2ωx+）+ 的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為=，

∴ω=1，f（x）=sin（2x+）+．

令2x+=kπ+，求得x=+，

故函數(shù)f（x）的對稱軸方程為得x=+，k∈Z．

（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個單位后，

可得y=sin（2x﹣+）+=sin（2x﹣）+的圖象；

再將得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），

得到函數(shù)y=g（x）=sin（4x﹣）+的圖象．

當x∈（，）時，4x﹣∈（﹣，），

∴sin（4x﹣）∈（﹣1，1]，

故函數(shù)g（x）的值域為（﹣，]．