Question

如圖，已知是橢圓的右焦點(diǎn)；圓與軸交于兩點(diǎn)，其中是橢圓的左焦點(diǎn).

（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)圓與軸的正半軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，試判斷直線與圓的位置關(guān)系；
（3）設(shè)直線與圓交于另一點(diǎn)，若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

（1）；（2）相切；（3）.

試題分析：（1）將點(diǎn)代入圓的方程，得出與的等量關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率；（2）先求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的斜率，通過直線的斜率與直線的斜率的乘積為，得到，進(jìn)而得到直線與圓的位置關(guān)系；（3）通過為的中位線得到與的面積，從而求出的值，進(jìn)而求出與的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
試題解析：（1）圓過橢圓的左焦點(diǎn)，把代入圓的方程，得，
故橢圓的離心率；
（2）在方程中令得，可知點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，
由（1）知，，故，，故，
在圓的方程中令可得點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)為，
于是可得直線的斜率，而直線的斜率，
，直線與圓相切；
（3）是的中線，，
，從而得，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.