Question

設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．過該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線AC（C點(diǎn)不同于A，B）與直線交于點(diǎn)R，D為線段RB的中點(diǎn)，試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）;(2) ;(3) 直線與圓相切,證明見解析.

試題分析：（1）要求橢圓的方程,就要知道a,b,由點(diǎn)A知道a=2,由離心率可求得c,由a²=b²+c²進(jìn)而求出b=1;(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,首先設(shè)，，利用用C點(diǎn)表示P點(diǎn)坐標(biāo),,代入橢圓方程,從而得到動(dòng)點(diǎn)C的軌跡;(3)直線與圓的位置關(guān)系有三種,相交,相切,相離,判斷的方法是圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系,如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與⊙O相交d<r；直線l與⊙O相切d=r；直線l與⊙O相離d>r；求出圓心到直線的距離后和半徑進(jìn)行比較,可得直線與圓的位置關(guān)系.
試題解析：（1）由題意可得，，
∴，
∴，
∴橢圓的方程為．
（2）設(shè)，，由題意得，即，
又，代入得，即．
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．
（3）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵三點(diǎn)共線，
∴，
而，，
則，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴直線的斜率為，
而，
∴，
∴，
∴直線的方程為，
化簡得，
∴圓心到直線的距離，
∴直線與圓相切．