【題目】如圖,四棱錐 底面為正方形,已知 ,,點(diǎn) 為線段 上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),點(diǎn) 在線段 上,且

(1)求證:;

(2)若 為線段 中點(diǎn),求直線 與平面 所成的角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析:(1)延長(zhǎng),于點(diǎn),由相似三角形的性質(zhì)可知 ,從而得,利用線面平行的判定定理可得直線平面;(2)由于 ,, 兩兩垂直,所以,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè) ,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線 的方向向量,根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組,求出平面 的一個(gè)法向量,空間向量夾角余弦公式,可求解 與平面 夾角的正弦值,進(jìn)而可求余弦值.

試題解析:(1) 延長(zhǎng) ,交 于點(diǎn) ,連接 ,

由相似知 ,可得:

,

(2) 由于 ,, 兩兩垂直,

,, , 軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè) ,則 ,,,

,平面 的法向量為 ,

設(shè)向量 的夾角為 ,則

與平面 夾角的余弦值為

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求線面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

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【題目】已知⊙H被直線x-y-1=0,x+y-3=0分成面積相等的四個(gè)部分,且截x軸所得線段的長(zhǎng)為2

(I)求⊙H的方程;

()若存在過(guò)點(diǎn)P(0,b)的直線與⊙H相交于M,N兩點(diǎn),且點(diǎn)M恰好是線段PN的中點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍

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【題目】已知, 是拋物線上兩點(diǎn),且兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為3.

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(2)若直線,直線與拋物線相切于點(diǎn),且,求方程.

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【題目】已知點(diǎn),圓,點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn), 的垂直平分線與交于點(diǎn).

1)求點(diǎn)的軌跡方程;

2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明直線過(guò)定點(diǎn),并求面積的最大值.

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【題目】P2P平臺(tái)需要了解該平臺(tái)投資者的大致年齡分布,發(fā)現(xiàn)其投資者年齡大多集中在區(qū)間[20,50]歲之間,對(duì)區(qū)間[20,50]歲的人群隨機(jī)抽取20人進(jìn)行了一次理財(cái)習(xí)慣調(diào)查,得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:

組數(shù)

分組

人數(shù)(單位:人)

第一組

[20,25)

2

第二組

[25,30)

a

第三組

[30,35)

5

第四組

[35,40)

4

第五組

[40,45)

3

第六組

[45,50]

2

 

()a的值并畫(huà)出頻率分布直方圖;

()在統(tǒng)計(jì)表的第五與第六組的5人中,隨機(jī)選取2人,求這2人的年齡都小于45歲的概率.

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【題目】共享單車給市民出行帶來(lái)了諸多便利,某公司購(gòu)買了一批單車投放到某地給市民使用.據(jù)市場(chǎng)分析,每輛單車的營(yíng)運(yùn)累計(jì)收入 (單位:元)與營(yíng)運(yùn)天數(shù)滿足.

(1)要使?fàn)I運(yùn)累計(jì)收入高于800元,求營(yíng)運(yùn)天數(shù)的取值范圍;

(2)每輛單車營(yíng)運(yùn)多少天時(shí),才能使每天的平均營(yíng)運(yùn)收入最大?

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【題目】已知命題:若關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根,則;命題:若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,則.

(1)寫出命題的否命題,并判斷命題的真假;

(2)判斷命題“”的真假,并說(shuō)明理由.

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【題目】某公司經(jīng)營(yíng)一種二手機(jī)械,對(duì)該型號(hào)機(jī)械的使用年數(shù)與再銷售價(jià)格(單位:百萬(wàn)元/臺(tái))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理,得到如下關(guān)系:

使用年數(shù)

2

4

6

8

10

再銷售價(jià)格

16

13

9.5

7

5

(1)求關(guān)于的回歸直線方程;

(2)該機(jī)械每臺(tái)的收購(gòu)價(jià)格為(百萬(wàn)元),根據(jù)(1)中所求的回歸方程,預(yù)測(cè)為何值時(shí),此公司銷售一臺(tái)該型號(hào)二手機(jī)械所獲得的利潤(rùn)最大?

附:參考公式:,.

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(1)求證:f(x)R上是增函數(shù);

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