Question

（2013•青島一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2

3

，離心率為

2

2

，其右焦點為F，過點B（0，b）作直線交橢圓于另一點A．
（Ⅰ）若

AB

•

BF

=-6，求△ABF外接圓的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-2）與橢圓N：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

3

相交于兩點G、H，且|

HG

|＜

2 5

3

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的焦距、離心率e=

c

a

及a²=b²+c²即可得到橢圓的標準方程；設A（x₀，y₀），利用向量的數(shù)量積及點A滿足橢圓的方程即可得出點A的坐標，由點A，B，F(xiàn)的坐標即可得到此三角形的外接圓的方程．
（II）設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），把直線GH的方程與橢圓方程聯(lián)立得到判別式△滿足的條件及其根與系數(shù)的關系，再利用向量的模的計算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題意知：c=

3

，e=

c

a

=

2

2

，又a²-b²=c²，
解得：a=

6

，b=

3

，
∴橢圓C的方程為：

x2

6

+

y2

3

=1．
由此可得：B(0，

3

)，F(

3

，0)
設A（x₀，y₀），則

AB

=(-x0，

3

-y0)，

BF

=(

3

，-

3

)，
∵

AB

•

BF

=-6，∴-

3

x0-

3

(

3

-y0)=-6，即y0=x0-

3

由

x02 6 + y02 3 =1 y0=x0- 3

⇒

x0=0 y0=- 3

，或

x0= 4 3 3 y0= 3 3

即A(0，-

3

)，或A(

4 3

3

，

3

3

)．
①當A的坐標為(0，-

3

)時，|OA|=|OB|=|OF|=

3

，
∴△ABF外接圓是以O為圓心，

3

為半徑的圓，即x²+y²=3．
②當A的坐標為(

4 3

3

，

3

3

)時，AF和BF的斜率分別為1和-1，
所以△ABF為直角三角形，其外接圓是以線段AB為直徑的圓，圓心坐標為(

2 3

3

，

2 3

3

)，半徑為

1

2

|AB|=

15

3

，
∴△ABF外接圓的方程為(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

綜上可知：△ABF外接圓方程是x²+y²=3，或(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

．
（Ⅱ）由題意可知直線GH的斜率存在．設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0得：k2＜

1

2

…（*）
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

．
|

HG

|＜

2 5

3

，即

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

．
∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴k2＞

1

4

，結合（*）得：

1

4

＜k2＜

1

2

．
所以-

2

2

＜k＜-

1

2

或

1

2

＜k＜

2

2

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程、三角形的外接圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為把直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得到判別式△滿足的條件及其根與系數(shù)的關系、向量的數(shù)量積運算及其向量模的計算公式等知識與方法，熟練掌握其解題模式是解題的關鍵．