Question

已知點(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，P到焦點(diǎn)F₂的距離的最大值為，且的最大面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過點(diǎn)F₂且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由P到焦點(diǎn)F₂的距離的最大值為，可得，由的最大面積為1，可得bc=1，結(jié)合a²=b²+c²，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x-1）代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算，化簡(jiǎn)即可求得的值．
解答：解：（Ⅰ）依題意，∵P到焦點(diǎn)F₂的距離的最大值為，
∴，①
∵的最大面積為1，
∴，②
又a²=b²+c²，③
由①②③解得：a²=2，b²=c²=1，得橢圓方程為
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x-1）代入橢圓方程，消去y整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由于點(diǎn)M 在橢圓內(nèi)，顯然上式的判別式△＞0恒成立，故直線L總與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)
設(shè)，
∴，，，
∴==
故=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．