已知α為銳角,且tanα=
2
-1,函數(shù)f(x)=2xtan2a+sin(2a+
π
4
),數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,an+1=f(an).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn
分析:(Ⅰ)利用二倍角的正切可求得tan2α=1,α為銳角,可求得sin(2α+
π
4
)=1,于是可知函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)依題意,可知數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,于是可求得an=2n-1,nan=n•2n-n,先用錯(cuò)位相減法求得{n•2n}的前n項(xiàng)和Tn,再利用分組求和法求得Sn
解答:解:(Ⅰ)∵tanα=
2
-1,
∴tan2α=
2tanα
1-tan2α
=
2(
2
-1)
1-(
2
-1)
2
=1,又α為銳角,
∴2α=
π
4

∴sin(2α+
π
4
)=1,
∴f(x)=2x+1;
(Ⅱ)∵an+1=f(an)=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),
∵a1=1,
∴數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
∴an+1=2•2n-1=2n
∴an=2n-1,
∴nan=n•2n-n,
下面先求{n•2n}的前n項(xiàng)和Tn
Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n,
2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)•2n+n•2n+1
兩式相減得:-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
2-2n+1
1-2
-n•2n+1
=2n+1-2-n•2n+1,
∴Tn=2+(n-1)•2n+1
∴Sn=2+(n-1)•2n+1-
(1+n)n
2
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的求和,著重考查等比關(guān)系的確定,求得an=2n-1是關(guān)鍵,也是難點(diǎn),突出考查錯(cuò)位相減法與分組求和法,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知α為銳角,且tanα=
1
2
,求
sin2αcosα-sinα
sin2αcos2α
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知α為銳角,且tan(
π
4
+α)=2

(Ⅰ)求tanα的值;
(Ⅱ)求
sin2αcosα-sinα
cos2α
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知α為銳角,且tan(
π
4
+α)=2

(Ⅰ)求tanα的值;
(Ⅱ)求
2cos2
α
2
-1-3sinα
2
sin(α+
π
4
)
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知α為銳角,且tanα=
1
2
.求
cos (
π
2
+α)cos(π-α)
tan(π+α)cos(2π-α)
的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案