【題目】已知拋物線E:y2=4x,設A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側的兩個動點,且 = (其中O為坐標原點)
(Ⅰ)求證:直線AB必過定點,并求出該定點Q的坐標;
(Ⅱ)過點Q作AB的垂線與拋物線交于G、D兩點,求四邊形AGBD面積的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)設直線AB的方程為:x=my+t,A( ,y1)、B( ,y2),
聯(lián)立 得y2﹣4my﹣4t=0,則y1+y2=4m,與y1y2=﹣4t,
得: y1y2=﹣18或y1y2=2(舍).
,所以直線AB過定點 ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 = ,
同理得, =
則四邊形AGBD面積
= ,
,
是對稱軸為μ<0,開口向上,函數(shù)是關于μ的增函數(shù),當μ=2時函數(shù)取得最小值.
故Smin=88.
當且僅當m=1時取到最小值88
【解析】(Ⅰ)設出直線AB的方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,利用數(shù)量積為0,求出k,化簡直線方程推出直線必過定點,并求出該定點Q的坐標;(Ⅱ)利用韋達定理以及弦長公式,表示出三角形的面積,通過換元法,利用函數(shù)的單調性求解最小值即可.

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A. B. C. D.

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