【題目】在圓上有21個(gè)點(diǎn).證明：以這些點(diǎn)為端點(diǎn)組成的所有弧中，不超過120°的弧不少于100條.

【答案】見解析

【解析】

圓上任三點(diǎn)分圓所成的三段弧中，至少有一段弧超過120°.將這不超過120°弧的兩個(gè)端點(diǎn)連上弦，這樣，圓上任意三個(gè)點(diǎn)中至少有兩點(diǎn)有弦（稱為“邊”)相連.由于這樣的“邊”與不超過120°的弧建立一一對(duì)應(yīng).所以只需證明，圓上21個(gè)點(diǎn)連結(jié)的“邊”不少于100即可.

設(shè)是連結(jié)“邊”數(shù)最少的那個(gè)頂點(diǎn)，，

是從引出的共有條“邊”.

由于每個(gè)點(diǎn)引出不少于條“邊”，所以，所有這些“邊“不少于條.其余個(gè)點(diǎn)中的任意點(diǎn)，它們不應(yīng)與有“邊”連結(jié).但任三點(diǎn)中都至少有兩個(gè)點(diǎn)有“邊”連結(jié)，所以它們每?jī)蓚�(gè)點(diǎn)間都有“邊”連結(jié).這樣，又得到不少于條“邊，以表記這21個(gè)點(diǎn)間連有“邊”的總數(shù)，則.

由，的極小值點(diǎn)鄰近的整數(shù)為及.

在中，，

.

上述最小值是可以達(dá)到的.作圓的一條直徑.在點(diǎn)近旁的圓弧上取10個(gè)點(diǎn)，在點(diǎn)的近旁的圓弧上取11個(gè)點(diǎn).即可合于要求.這21個(gè)點(diǎn)間連結(jié)有條“邊”

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐的底面與圓錐的底面都在平面上，且過點(diǎn)，又的直徑，垂足為.設(shè)三棱錐的所有棱長(zhǎng)都是1，圓錐的底面直徑與母線長(zhǎng)也都是1，圓錐的底面直徑與母線長(zhǎng)也都是1.求圓錐的頂點(diǎn)到三棱錐的三個(gè)側(cè)面的距離.

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【題目】△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2bcosC+c=2a．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是2020年2月1日到2月20日，某地區(qū)新型冠狀病毒疫情新增數(shù)據(jù)的走勢(shì)圖．

（Ⅰ）從這20天中任選1天，求新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過100的概率；

（Ⅱ）從新增確診的人數(shù)超過100的日期中任選兩天，用X表示新增確診的人數(shù)超過140的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】證明：在任意個(gè)人中，可以找到兩個(gè)人、，使得其余個(gè)人中，至少有個(gè)人他們中的每一個(gè)，或者都認(rèn)識(shí)、；或者都不認(rèn)識(shí)、．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為:（為參數(shù)）， 以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線，直線與曲線分別交于兩點(diǎn).

（1）寫出曲線和的普通方程；

（2）若成等比數(shù)列，求值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年寒假是特殊的寒假，因?yàn)橐咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)，為了研究學(xué)生在網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，某學(xué)校在網(wǎng)上隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)線上教育進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為11∶13，其中男生30人對(duì)于線上教育滿意，女生中有15名表示對(duì)線上教育不滿意.

（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教育是否滿意與性別有關(guān)”；

滿意

不滿意

總計(jì)

男生

女生

合計(jì)

120

（2）從被調(diào)查中對(duì)線上教育滿意的學(xué)生中，利用分層抽樣抽取8名學(xué)生，再在8名學(xué)生中抽取3名學(xué)生，作線上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)介紹，其中抽取男生的個(gè)數(shù)為，求出的分布列及期望值.

參考公式：附：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

0.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),函數(shù)g(x)＝2﹣f(﹣x).

(1)判斷函數(shù)g(x)的奇偶性;

(2)若x∈(﹣1，0),

①求f(x)的值域;

②g(x)＜tf(x)恒成立,求實(shí)數(shù)t的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上頂點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線交x軸于點(diǎn)N．問：在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)Q，使得？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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