已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=m,an+1an+n,bn=an-
2n
3
+
4
9

(1)當(dāng)m=1時(shí),求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ,{an}一定不是等差數(shù)列;
(2)當(dāng)λ=-
1
2
時(shí),試判斷{bn}是否為等比數(shù)列.
分析:(1)要證明{an}不是等差數(shù)列,只須證明a1+a3≠2a2,利用反證法即可完成;
(2)要判斷{bn}是否為等比數(shù)列,只須緊扣等比數(shù)列的定義,證明bn+1:bn=同一個(gè)常數(shù),注意對(duì)b1≠0的討論.
解答:解:(1)當(dāng)m=1時(shí),a1=1.a(chǎn)2=λ+1,a3=λ(λ+1)+2=λ2+λ+2
假設(shè){an}是等差數(shù)列,由a1+a3=2a2
得λ2+λ+3=2(λ+1),
即λ2-λ+1=0,
∴△=-3<0,
∴方程無(wú)實(shí)根.
故對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ,{an}一定不是等差數(shù)列.
(2)當(dāng)λ=-
1
2
時(shí),an+1=-
1
2
an+n,bn=an-
2n
3
+
4
9
bn+1=an+1-
2(n+1)
3
+
4
9
=(-
1
2
an+n)-
2(n+1)
3
+
4
9
=-
1
2
an+
n
3
-
2
9

=-
1
2
(an-
2n
3
+
4
9
)=-
1
2
bn
b1=m-
2
3
+
4
9
=m-
2
9

當(dāng)m≠
2
9
時(shí),{bn}是以m-
2
9
為首項(xiàng),-
1
2
為公比的等比數(shù)列
,
當(dāng)m=
2
9
時(shí),{bn}不是等比數(shù)列
點(diǎn)評(píng):判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的常規(guī)方法是根據(jù)定義判斷,而判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列或等比數(shù)列,則只須證明其中的前三項(xiàng)構(gòu)不成等差或等比關(guān)系即可.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a=1,a1=2,a2>0,bn=
a1an+1
(n∈N*)
.且{bn}是以
a為公比的等比數(shù)列.
(Ⅰ)證明:aa+2=a1a2;
(Ⅱ)若a3n-1+2a2,證明數(shù)例{cx}是等比數(shù)例;
(Ⅲ)求和:
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+
1
a4
+
+
1
a2n-1
+
1
a2n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足:a1=b1=4,a2=b2=2,a3=1,且數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列,n∈N*,
(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)問(wèn)是否存在k∈N*,使得ak-bk∈(
12
,3]
?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,an+1=
23
an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21)其中λ為實(shí)數(shù),且λ≠-18,n為正整數(shù).
(Ⅰ)求證:{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)0<a<b,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•孝感模擬)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1且bn=1-2an,bn+1=
bn
1-4 
a
2
n

(I)證明:數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
1
b2b3bnbn+1 
對(duì)任意正整數(shù)n都成立的最大實(shí)數(shù)k.

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