【題目】在直角坐標(biāo)系中中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上所有的點(diǎn)均在直線的右下方,求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)將直線極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo),設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式及輔助角公式,根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì),即可求得點(diǎn)P到直線的距離的最大值;
(2)由題意可知:,恒成立,利用輔助角公式,只需,即可求得的取值范圍.
(1)由,得,
化成直角坐標(biāo)方程得,
∴直線的方程為,
依題意,設(shè),
則到直線的距離,
當(dāng),即,時(shí),,
故點(diǎn)到直線的距離的最大值為.
(2)因?yàn)榍上的所有點(diǎn)均在直線的右下方,
,恒成立,即(其中)恒成立,
∴,又,解得.
故取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面是菱形,,是棱的中點(diǎn),,在線段上,且.
(1)證明:面;
(2)若,面面,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 為圓的直徑,點(diǎn), 在圓上, ,矩形和圓所在的平面互相垂直,已知, .
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的大;
(Ⅲ)當(dāng)的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓()的左右焦點(diǎn)分別為,橢圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),且.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年2月13日《煙臺(tái)市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布,旨在保障全民閱讀權(quán)利,培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣,提高全民閱讀能力,推動(dòng)文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè).某高校為了解條例發(fā)布以來(lái)全校學(xué)生的閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表);
(2)由直方圖可以認(rèn)為,目前該校學(xué)生每周的閱讀時(shí)間服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.
(i)一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算:若,令,則,且.利用直方圖得到的正態(tài)分布,求.
(ii)從該高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取20名,記表示這20名學(xué)生中每周閱讀時(shí)間超過(guò)10小時(shí)的人數(shù),求(結(jié)果精確到0.0001)以及的數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):,.若,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是由兩個(gè)全等的菱形和組成的空間圖形,,∠BAF=∠ECD=60°.
(1)求證:;
(2)如果二面角B-EF-D的平面角為60°,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且成等比數(shù)列,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了研究國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配,避免貧富過(guò)分懸殊,美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示:勞倫茨曲線為直線時(shí),表示收入完全平等,勞倫茨曲線為折線時(shí),表示收入完全不平等記區(qū)域為不平等區(qū)域,表示其面積,為的面積.將,稱(chēng)為基尼系數(shù).對(duì)于下列說(shuō)法:
①越小,則國(guó)民分配越公平;
②設(shè)勞倫茨曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為,則對(duì),均有;
③若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為,則;
④若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為,則.
其中不正確的是:( )
A.①④B.②③C.①③④D.①②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某快餐連鎖店招聘外賣(mài)騎手,該快餐連鎖店提供了兩種日工資方案:方案(a)規(guī)定每日底薪50元,快遞業(yè)務(wù)每完成一單提成3元;方案(b)規(guī)定每日底薪100元,快遞業(yè)務(wù)的前44單沒(méi)有提成,從第45單開(kāi)始,每完成一單提成5元,該快餐連鎖店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量,現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為[ 25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)隨機(jī)選取一天,估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;
(2)從以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看,新聘騎手選擇日工資方案(a)的概率為,選擇方案(b)的概率為.若甲、乙、丙三名騎手分別到該快餐連鎖店應(yīng)聘,三人選擇日工資方案相互獨(dú)立,求至少有兩名騎手選擇方案(a)的概率;
(3)若僅從人均日收入的角度考慮,請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說(shuō)明理由.(同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)
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