Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍；

（3）若直線不過(guò)點(diǎn)，求證：直線的斜率互為相反數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)出橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，由離心率的值及橢圓過(guò)點(diǎn)（4，1）求出待定系數(shù)，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍；

（3）由方程聯(lián)立可得到兩根之和、兩根之積，從而可求直線MA，MB斜率之和，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．

（1） 設(shè)橢圓的方程為 ，因?yàn)?/span> ，所以 ，

又因?yàn)?/span> ，所以 ，解得 ，故橢圓方程為 ．

（2） 將 y=x+m 代入 并整理得 ， ，解得 -5<m<5．

（3） 設(shè)直線MA，MB 的斜率分別為 ，只要證明 ，

設(shè) ，

則 ， ，

，

分子

所以直線 MA，MB 的斜率互為相反數(shù)．