已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C與底面ABC所成的角為，AB=BC=，∠ABC=，設E、F分別是AB、A1C的中點。

 （1）求證：BC⊥A1E；

 （2）求證：EF∥平面BCC1B1；

 （3）求以EC為棱，B1EC與BEC為面的二面角正切值。

證法一：向量法

證法二：（I）由已知有BC⊥AB，BC⊥B1B，∴BC⊥平面ABB1A1

又A1E在平面ABB1A1內     ∴有BC⊥A1E

（II）取B1C的中點D，連接FD、BD

∵F、D分別是AC1、B1C之中點, ∴FDA1B1BE

∴四邊形EFBD為平行四邊形    ∴EFBD

又BD平面BCC1B1   

∴EF∥面BCC1B1

（Ⅲ）過B1作B1H⊥CEFH，連BH，又B1B⊥面BAC，B1H⊥CE

∴BH⊥EC    ∴∠B1HB為二面角B1-EC-B平面角

在Rt△BCE中有BE=，BC=，CE=，BH=

又∠A1CA=      ∴BB1=AA1=AC=2   

∴tan∠B1HB=．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CC1、AB中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）判斷直線CF和平面AEB1的位置關系，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，且D，E，F(xiàn)分別為BC，BB1，AA1的中點．
（I） 求證：平面B1FC∥平面EAD；
（II）求證：BC1⊥平面EAD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC，AB，AA′兩兩垂直，E，F(xiàn)，H分別是AC，AB，BC的中點，
（I）證明：EF⊥AH；    
（II）求四面體E-FAH的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A1的中點．
（Ⅰ）求異面直線AB和C1D所成的角（用反三角函數(shù)表示）；
（Ⅱ）若E為AB上一點，試確定點E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點D到平面B1C1E的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC；M．N．P分別是棱BC．CC1．B1C1的中點．A1Q=3QA， BC=
2
AA1
（Ⅰ）求證：PQ∥平面ANB1；
（Ⅱ）求證：平面AMN⊥平面AMB1．

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