Question

【題目】以下關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的命題中：

①雙曲線(xiàn)與橢圓有相同焦點(diǎn)；

②以?huà)佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)截拋物線(xiàn)所得的線(xiàn)段）為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)是相切的；

③設(shè)、為兩個(gè)定點(diǎn)，為常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)；

④過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于、，則使它們的橫坐標(biāo)之和等于5的直線(xiàn)有且只有兩條；

以上命題正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①直接求解雙曲線(xiàn)與橢圓的焦點(diǎn)再判斷即可.

②利用焦半徑公式分析即可.

③舉出反例判定即可.

④設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程聯(lián)立拋物線(xiàn)分析即可.

對(duì)①, 雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為,橢圓的焦點(diǎn)為

.故①正確.

對(duì)②,不妨設(shè)以?huà)佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)弦端點(diǎn)為.則以焦點(diǎn)弦為直徑的圓的圓心.又圓的直徑,圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離.故以?huà)佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)是相切的.同理對(duì)任意開(kāi)口的拋物線(xiàn)均成立.故②正確.

對(duì)③,當(dāng)時(shí)易得,故的軌跡為線(xiàn)段的中垂線(xiàn).

對(duì)④, 設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn),則.

設(shè)則橫坐標(biāo)之和.

故使它們的橫坐標(biāo)之和等于5的直線(xiàn)有且只有兩條.

故①②④正確,③錯(cuò)誤.

故選：C