Question

【題目】2020年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢嚴(yán)峻，避免外出是減少相互交叉感染最有效的方式．在家中適當(dāng)鍛煉，合理休息，能夠提高自身免疫力，抵抗該種病毒．某小區(qū)為了調(diào)查“宅”家居民的運(yùn)動(dòng)情況，從該小區(qū)隨機(jī)抽取了100位成年人，記錄了他們某天的鍛煉時(shí)間，其頻率分布直方圖如下：

（1）求a的值，并估計(jì)這100位居民鍛煉時(shí)間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）小張是該小區(qū)的一位居民，他記錄了自己“宅”家7天的鍛煉時(shí)長：

序號(hào)n	1	2	3	4	5	6	7
鍛煉時(shí)長m（單位：分鐘）	10	15	12	20	30	25	35

（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)求m關(guān)于n的線性回歸方程；

（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），則當(dāng)天被稱為“有效運(yùn)動(dòng)日”．估計(jì)小張“宅”家第8天是否是“有效運(yùn)動(dòng)日”？

附；在線性回歸方程中，，．

Answer 1

【答案】（1），30.2；（2）（Ⅰ），（Ⅱ）估計(jì)小張“宅”家第8天是“有效運(yùn)動(dòng)日”．

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖的特征，各小矩形面積之和為1，即可求出a的值，再根據(jù)平均值等于各小矩形的面積乘以其底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即可求出；

（2）（Ⅰ）根據(jù)最小二乘法，分別計(jì)算出和，即可求出m關(guān)于n的線性回歸方程；

（Ⅱ）根據(jù)線性回歸方程，令，求出預(yù)測值，再驗(yàn)證是否滿足，即可判斷．

（1），

．

（分鐘）．

（2）（Ⅰ），

，

，

，，

關(guān)于n的線性回歸方程為．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．

，

估計(jì)小張“宅”家第8天是“有效運(yùn)動(dòng)日”．