Question

（2013•宜賓二模）已知函數(shù)f(x)=

-x2-2x+a(x＜0) f(x-1)(x≥0)

，且函數(shù)y=f（x）-x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．（0，+∞）

B．[-1，0）

C．[-1，+∞）

D．[-2，+∞）

Answer 1

分析：由題意可得當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)的周期為1，而當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，y=-x²-2x+a=-（x+1）²+1+a，圖象為開口向下的拋物線，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，分類討論可得．

解答：解：∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=f（x-1），
∴此時(shí)的周期為1，對(duì)于所有大于等于0的x代入得到的f（x）
相當(dāng)于在[-1，0）重復(fù)的周期函數(shù)，
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，y=-x²-2x+a=-（x+1）²+1+a，
圖象為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸x=-1，頂點(diǎn)（-1，1+a），
結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知：
（1）如果a＜-1，函數(shù)y=f（x）-x至多有2個(gè)不同的零點(diǎn)；
（2）如果a=-1，則y有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0），有一個(gè)零點(diǎn)在（-∞，-1），一個(gè)零點(diǎn)是原點(diǎn)；
（3）如果a＞-1，則有一個(gè)零點(diǎn)在（-∞，-1），y右邊有兩個(gè)零點(diǎn)，
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．