Question

【題目】定義：若無窮數(shù)列滿足是公比為的等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.設(shè)數(shù)列中

（1）若，且數(shù)列是“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，請判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；

（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請求出所有滿足條件的正整數(shù)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是“數(shù)列”，證明見解析；（3）存在，；

【解析】

（1）計(jì)算，故是公比為1的等比數(shù)列，計(jì)算得到答案.

（2）是“”數(shù)列，化簡得到，即，得到證明.

（3）是公比為2的等比數(shù)列，，利用累加法得到，得到，計(jì)算得到答案.

（1）由題意可得，

由數(shù)列為“數(shù)列”可得，即，

則是公比為1的等比數(shù)列，即，

則是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，；

（2）是“”數(shù)列，，

理由如下：時(shí)，由，可得，

兩式作差可得即，

則，兩式作差可得，即，

由，可得，則，

則對任意成立，則為首項(xiàng)是，公比為3的等比軟列，

則為數(shù)列；

（3）由是數(shù)列，可得是公比為2的等比數(shù)列，

即，則，由，可得，則，

則，

則，若正整數(shù)滿足，則，

由，則，則，

若，則，不滿足，

若，則，則，即，

則，則正整數(shù)，則；

因此存在滿足條件的.