Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=AB=AC=BC=

2

SB=

2

SC，0為BC的中點．
（I）求證：SO⊥面ABC；
（II）求異面直線SC與AB所成角的余弦值；
（III）在線段AB上是否存在一點E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為

15

5

；若存在，求BE：BA的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意及所給的邊長設SB=a，則SO=

2

2

a，AO=

6

2

a，SA=

2

a，得到SO⊥OA，及利用線線垂直的判定定理得到線面垂直；
（II）由題意及圖形特點以O為原點，以OC所在射線為x軸正半軸，以OA所在射線為y軸正半軸，以OS所在射線為z軸正半軸建立空間直角坐標系，
寫出點的坐標，利用異面直線所成角的定義求出夾角；
（III）由題意屬于開放性的題目，利用假設存在，利用條件對于坐標設出未知的變量，利用向量的知識解出變量的大小，進而求出二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）
連接SO，顯然∴SO⊥BC，
設SB=a，則SO=

2

2

a，AO=

6

2

a，SA=

2

a
∴SO²+OA²=SA²，∴SO⊥OA，
又∴BC∩OA=0，∴SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O為原點，以OC所在射線為x軸正半軸，以OA所在射線為y軸正半軸
以OS所在射線為z軸正半軸建立空間直角坐標系．
則有O（0，0，0），
S(0，0 ，

2 a

2

)，C(

2 a

2

，0，0)，A(0，

2 a

2

，0)，B(-

2 a

2

，0，0)，
∴

SC

=(

2

2

a，0，-

2

2

a)
∴

AB

=(-

2

2

-

6 a

2

，0)，
∴cos＜

SC

，

AB

＞=-

2

4

，
∴異面直線SC與AB所成角的余弦值為

2

4

，
（Ⅲ）假設存在E滿足條件，設

BE

=λ

BA

（0≤λ≤1），
則E=(

2

2

(λ-1)a，

6

2

λa，0)，

CE

=(

2

2

(λ-2)a，

6

2

λa，0)．
設面SCE的法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • CE =0 n • SC =0

，得

(λ-2)x+ 3 λy=0 x-z=0

，

n

=(1，

2-λ

3 λ

，1)．
因為OA⊥面ABC，所以可取向量

m

=（0，1，0）為面SBC的法向量．
所以，cos(

m

，

n

)=

m • n

| m |•| n |

=

2-λ 3 -λ

2+( 2-λ 3 λ )2

=

15?

5

，
解得，λ=

1

2

．
所以，當BE：BA=1：2時，二面角B-SC-E的余弦值為

15

5

．

點評：此題重點考查了線面垂直的判定定理，還考查了利用空間向量的知識求異面直線所成的角及二面角，另外對于的三問這樣開放型的題目，應先假設結(jié)論，由此推出具備的條件，在由此條件得到是否存在．