Question

（本小題滿分14分）已知區(qū)域的外接圓C與x軸交于點(diǎn)A₁、A₂，橢圓C₁以線段A₁A₂為長(zhǎng)軸，離心率．
⑴求圓C及橢圓C₁的方程；
⑵設(shè)圓與軸正半軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，中點(diǎn)為，問是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且？若存在，求出直線與夾角的正切值的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

，

解：⑴由題意可知，區(qū)域是以及點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，
∵，∴為直角三角形．                         ……2分
∴外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為．
∵2a=4，∴a=2．
又，∴，可得．
∴所求橢圓C₁的方程是．                                                                ……6分
⑵點(diǎn)坐標(biāo)為，故點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然可滿足要求；時(shí)不滿足題意．                                                              ……8分
當(dāng)時(shí)，設(shè)的方程為，
由，得，
由，得；            ……10分
設(shè)，的中點(diǎn)為，
則．
，即，解得．
……12分
，得．
綜上，直線與夾角的正切值的取值范圍是．         ……14分