Question

（2010•武昌區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx，x∈R的圖象與x軸相切于非原點(diǎn)的一點(diǎn)，且函數(shù)的極小值為-4．
（1）求b，c的值；
（2）對(duì)a＜0，記F（a）為f（x）在[a，0]上的最小值，若F（a）≤λa恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）＜4sinx．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）=x³+bx²+cx的圖象與x軸相切于非原點(diǎn)的一點(diǎn)，可以判斷c≠0．且當(dāng)x小于0時(shí)有一個(gè)極值為0，結(jié)合圖象可得方程x²+bx+c=0有且僅有一個(gè)根，且在這個(gè)根處導(dǎo)數(shù)等于0，據(jù)此可求出b，c的值．
（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，求出極值點(diǎn)，再按a的取值討論求出函數(shù)在[a，0]上的最小值，代入F（a）≤λa，求λ的取值范圍．
（3）由（2）知，當(dāng)-1＜x＜0，f（x）＜4x恒成立，所以可用放縮法，證明4x＜4sinx即可，再轉(zhuǎn)換為判斷函數(shù)y=4x-4sinx與0的大小比較，借助導(dǎo)數(shù)求出．

解答：解：（1）依題意，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，
f'（x）=3x²+2bx+c∵原點(diǎn)不是切點(diǎn)，∴c≠0．
記切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀（x₀＜0）
又f（x）=x³+bx²+cx=x（x²+bx+c）
則方程x²+bx+c=0有且僅有一個(gè)根x=x₀∴△=b²-4c=0，即c=

b2

4

．①
∴f′(x)=3x2+2bx+c=3x2+2bx+

b2

4

=

(6x+b)(2x+b)

4

則x1=-

b

6

，x2=-

b

2

(b＞0)∴f(-

b

6

)=-4，即5b²-36bc+432=0．②
由①②，解得b=6，c=9
（2）f（x）=x³+6x²+9x，由f（x）=-4得x=-4或-1．∴當(dāng)a＜-4時(shí)，f（x）在[a，0]上的最小值F（a）=f（a）=a³+6a²+9a
當(dāng)-4≤a≤1時(shí)，f（x）在[a，0]上的最小值F（a）=f（-1）=-4
當(dāng)1＜a＜0時(shí)，f（x）在[a，0]上的最小值F（a）=f（a）=a³+6a²+9a
要使F（a）≤λa恒成立，只需λ≤

F(a)

a

恒成立，∴當(dāng)a＜-4時(shí)，

F(a)

a

=a2+6a+9=(a+3)2＞1，則λ≤1
當(dāng)1＜a＜0時(shí)，

F(a)

a

=a2+6a+9=(a+3)2＞4則λ≤4
當(dāng)-4≤a≤-1時(shí)，

F(a)

a

=

-4

a

≥1，則λ≤1
綜上所述，λ≤1
（3）由（2）知，當(dāng)-1＜x＜0，f（x）＜4x恒成立
（或利用f（x）-4x=x³+6x²+5x=x（x+1）（x+5）＜0在-1＜x＜0，恒成立）
記g（x）=x-sinx（-1＜x＜0），
則g'（x）=1-cosx＞0．∴g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，g（x）＜g（0）=0．
∴x＜sinx在-1＜x＜0恒成立，∴-1＜x＜0時(shí)，在f（x）≤4x＜4sinx，得證

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，最值，以及單調(diào)性的判斷之間的關(guān)系，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題．