Question

已知函數(shù)，
（Ⅰ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）令，是否存在實數(shù)，當(dāng)（是自然常數(shù)）時，函數(shù)的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
（III）當(dāng)時，證明：

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），使得當(dāng)時有最小值3（III）見解析

本試題主要是考查了運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的問題以及函數(shù)單調(diào)性的綜合運用。
（1）要是函數(shù)在給定區(qū)間遞減，則導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒小于等于零，分離參數(shù)的思想得到參數(shù)的范圍。
（2）假設(shè)存在實數(shù)a，那么根據(jù)對于參數(shù)的討論得到最值。
解：（Ⅰ）在上恒成立，
令 ，有 得  得 .
方法二：在上恒成立，即在上恒成立，令，而在上單調(diào)遞減，
\
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)，使（）有最小值3，
 
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，（舍去），
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
，，滿足條件. 
③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，（舍去），
綜上，存在實數(shù)，使得當(dāng)時有最小值3. 
（III）令，由（2）知，.令，，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增 
∴    
即