Question

如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為15，

AP

=

1

3

AB

+

2

5

AC

，

BQ

=

1

5

AB

+

2

5

AC

．
（1）求證：四邊形APQB為梯形；
（2）求梯形APQB的面積．

Answer 1

分析：（1）由已知中正△ABC的邊長(zhǎng)為15，

AP

=

1

3

AB

+

2

5

AC

，

BQ

=

1

5

AB

+

2

5

AC

．根據(jù)向量加法的三角形法則，我們可得

PQ

=

13

15

AB

，根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義，我們可得

PQ

∥

AB

，但|

PQ

|≠|(zhì)

AB

|，進(jìn)而根據(jù)梯形的判定定理得到四邊形APQB為梯形；
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合（1）中的結(jié)論，我們可得|

PQ

|=13，|

AB

|=15，梯形APQB的高h(yuǎn)為正△ABC的AB邊上高的

2

5

，代入梯形面積公式，即可求出梯形APQB的面積．

解答：解：（1）因

PQ

=

PA

+

AB

+

BQ

=-

1

3

AB

-

2

5

AC

+

AB

+

1

5

AB

+

2

5

AC

=

13

15

AB

，
故

PQ

∥

AB

，
且|

PQ

|=13，|

AB

|=15，
|

PQ

|≠|(zhì)

AB

|，
于是四邊形APQB為梯形．
（2）設(shè)直線PQ交AC于點(diǎn)M，
則

AM

=

2

5

AC

，
故梯形APQB的高h(yuǎn)為正△ABC的AB邊上高的

2

5

，
即h=

2

5

×

3

2

×15=3

3

．
從而，梯形APQB的面積為

1

2

(13+15)×3

3

=42

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量加法的三角形法則，數(shù)乘向量的幾何意義，梯形面積公式，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)向量加法的三角形法則，求出

PQ

=

13

15

AB

，進(jìn)而根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義，分析PQ邊與AB的關(guān)系，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)已知求出梯形的上、下底邊長(zhǎng)及高的長(zhǎng)度．