Question

如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在的平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，F(xiàn)A=FE，∠AEF=45°．
（1）求證：EF⊥平面BCE；
（2）設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M，求證：P M∥平面BCE；
（3）求二面角F-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在的平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，F(xiàn)A=FE，∠AEF=45°．我們易根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，得到BC⊥EF，F(xiàn)E⊥EB，結(jié)合線面垂直的判定定理得到EF⊥平面BCE；
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AE方向分別為X，Y，Z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，分別求出直線P M的方向向量及平面BCE的法向量，根據(jù)兩個(gè)向量數(shù)量積為0，得到兩個(gè)向量相互垂直，進(jìn)而得到P M∥平面BCE；
（3）分別求出平面BDF及平面ABCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角F-BD-A的余弦值．

解答：解：（1）∵正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在的平面互相垂直，
∴BC⊥平面ABEF，
又由EF?平面ABEF
∴BC⊥EF
又∵△ABE是等腰直角三角形，F(xiàn)A=FE，∠AEF=45°
∴∠FEB=90°，即FE⊥EB
又∵EB∩BC=B
∴EF⊥平面BCE；
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AE方向分別為X，Y，Z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，
令正方形ABCD的邊長為2，則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），F(xiàn)（0，-1，1），P（2，1，0），M（0，0，1）
則

PM

=（-2，-1，1），

EF

=（0，-1，-1）為平面BCE的一個(gè)法向量，
∵

PM

•

EF

=0
∴P M∥平面BCE
（3）設(shè)平面FBD的一個(gè)法向量

n

=(x，y，z)
則

n • BD =0 n • BF =0

，即

2x-2y=0 -3y+z=0

僅x=1，則平面FBD法向量

n

=(1，1，3)
又∵

AE

=（0，0，2）為平面ABCD的一個(gè)法向量
令二面角F-BD-A的平面角為θ
則cosθ=

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點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是，熟練掌握面面垂直，線面垂直，線線垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2），（3）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將線面平行及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題．