【題目】如圖,設(shè)是由 個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表,其中 表示位于第行第列的實(shí)數(shù),且.
定義 為第s行與第t行的積. 若對(duì)于任意(),都有,則稱數(shù)表為完美數(shù)表.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),試寫(xiě)出一個(gè)符合條件的完美數(shù)表;
(Ⅱ)證明:不存在10行10列的完美數(shù)表;
(Ⅲ)設(shè)為行列的完美數(shù)表,且對(duì)于任意的和,都有,證明:.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)(1)見(jiàn)解析,(2)不存在10行10列的完美數(shù)表;(Ⅲ)見(jiàn)解析
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)定義確定一個(gè)解即可,(Ⅱ)先研究完美數(shù)表性質(zhì),再利用性質(zhì)作變換,考慮前三行的情況,列方程組,最后根據(jù)所求解得矛盾,即證得結(jié)論,(Ⅲ)把作為研究對(duì)象,根據(jù)條件可得,根據(jù)定義可得.最后根據(jù)不等關(guān)系:證得結(jié)果.
(Ⅰ)答案不唯一. 如
1 | 1 |
1 |
(Ⅱ)假設(shè)存在10行10列的完美數(shù)表. 根據(jù)完美數(shù)表的定義,可以得到以下兩個(gè)結(jié)論:
(1)把完美數(shù)表的任何一列的數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)(即均變?yōu)?/span>,而均變?yōu)?/span>),得到的新數(shù)表是完美數(shù)表;
(2)交換完美數(shù)表的任意兩列,得到的新數(shù)表也是完美數(shù)表.
完美數(shù)表反復(fù)經(jīng)過(guò)上述兩個(gè)結(jié)論的變換,前三行可以為如下形式:
在這個(gè)新數(shù)表中,設(shè)前三行中的數(shù)均為1的有x列,前三行中“第1, 2行中的數(shù)為1,且第3行中的數(shù)為-1”的有y列,前三行中“第1, 3行中的數(shù)為1,且第2行中的數(shù)為-1”的有z列,前三行中“第1行中的數(shù)為1,且第2, 3行中的數(shù)為-1”的有w列(如上表所示),
則
由,得;
由,得;
由,得.
解方程組,,,,得. 這與矛盾,
所以不存在10行10列的完美數(shù)表. >
(Ⅲ)記第1列前行中的數(shù)的和,
第2列前行中的數(shù)的和 ,……,
第n列前行中的數(shù)的和,
因?yàn)閷?duì)于任意的和,都有,
所以.
又因?yàn)閷?duì)于任意(),都有,
所以.
又因?yàn)?/span>,
所以,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某!傲柙票被@球隊(duì)的成員來(lái)自學(xué)校高一、高二共10個(gè)班的12位同學(xué),其中高一(3)班、高二(3)各出2人,其余班級(jí)各出1人,這12人中要選6人為主力隊(duì)員,則這6人來(lái)自不同的班級(jí)的概率為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了紀(jì)念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽,為了了解市民對(duì)“一帶一路”知識(shí)的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機(jī)抽取了40份答卷,發(fā)現(xiàn)成績(jī)都在內(nèi),現(xiàn)將成績(jī)按區(qū)間,,,,進(jìn)行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖.
青年組
中老年組
(1)利用直方圖估計(jì)青年組的中位數(shù)和老年組的平均數(shù);
(2)從青年組,的分?jǐn)?shù)段中,按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5份答卷,再?gòu)闹羞x出3份答卷對(duì)應(yīng)的市民參加政府組織的座談會(huì),求選出的3位市民中有2位來(lái)自分?jǐn)?shù)段的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】團(tuán)體購(gòu)買(mǎi)公園門(mén)票,票價(jià)如下表:
購(gòu)票人數(shù) | 1~50 | 51~100 | 100以上 |
門(mén)票價(jià)格 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
現(xiàn)某單位要組織其市場(chǎng)部和生產(chǎn)部的員工游覽該公園,若按部門(mén)作為團(tuán)體,選擇兩個(gè)不同的時(shí)間分別購(gòu)票游覽公園,則共需支付門(mén)票費(fèi)為1290元;若兩個(gè)部門(mén)合在一起作為一個(gè)團(tuán)體,同一時(shí)間購(gòu)票游覽公園,則需支付門(mén)票費(fèi)為990元,那么這兩個(gè)部門(mén)的人數(shù)之差為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量,向量是與向量夾角為的單位向量.
(1)求向量;
(2)若向量與向量共線,且與的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣,某校開(kāi)展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng). 活動(dòng)后,為了解閱讀情況,學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10名學(xué)生的閱讀量(單位:本),統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下,乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無(wú)法確認(rèn),在圖中以a表示.
(Ⅰ)若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值,求圖中a的所有可能取值;
(Ⅱ)將甲、乙兩組中閱讀量超過(guò)15本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”. 設(shè),現(xiàn)從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人,求至少有1人來(lái)自甲組的概率;
(Ⅲ)記甲組閱讀量的方差為. 若在甲組中增加一個(gè)閱讀量為10的學(xué)生,并記新得到的甲組閱讀量的方差為,試比較,的大小.(結(jié)論不要求證明)
(注:,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年9月,臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國(guó)多個(gè)省市登陸,造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成五組:,,,,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶并且損失超過(guò)4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶,設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).
(1)求證:PA⊥BD;
(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;
(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐E-BCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年“十一”期間,高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問(wèn)調(diào)查,將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁伲?/span>)分成六段: , , , , , ,后得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值;
(2)若從車速在的車輛中任抽取2輛,求車速在的車輛恰有一輛的概率.
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