Question

【題目】已知是公差不為零的等差數(shù)列, 是等比數(shù)列,且,,.

(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；

(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和；

(3)若滿足不等式成立的恰有個(gè),求正整數(shù)的值.

Answer 1

【答案】(1) ，.(2) .(3) .

【解析】分析：(1) 根據(jù),,列出關(guān)于首項(xiàng)、,公差與公比的方程組，解方程組可得、,公差與公比的值，從而可得數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可得，利用錯(cuò)位相減法求和即可的結(jié)果；(3) 不等式可化為，先判斷的增減性，可得則時(shí), 中最大的三項(xiàng)值為，由時(shí)滿足的共有兩個(gè),可得，由解得，則正整數(shù).

詳解： (1)設(shè)的公差為, 的公比為，

，；，；

由，可得，，

由可得，

則，，

則，；

(2) ，

作差可得 ，

則 ；

(3) 不等式可化為，

即 ，即，

，時(shí)一定成立,

則時(shí),滿足的共有兩個(gè),此時(shí),，

即滿足的共有兩個(gè),

令，，

，

則時(shí),

時(shí), ，

，，，，

則時(shí), 中最大的三項(xiàng)值為，

由時(shí)滿足的共有兩個(gè),可得，

由解得，則正整數(shù).