Question

已知函數(shù)y=log₂[（p-1）x²+2px+3p-2]
（1）若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)p的取值范圍，
（2）若函數(shù)的值域為R，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的定義域為R等價于真數(shù)大于0恒成立；解二次型不等式恒成立結(jié)合二次函數(shù)的圖象通過對二次項系數(shù)及判別式分類討論求出p的范圍．
（2）將函數(shù)的值域為R轉(zhuǎn)化為真數(shù)能取所有的正實數(shù)，通過對二次項系數(shù)的討論及判別式，求出a的范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)的定義域為R
∴（p-1）x²+2px+3p-2＞0①p=1時，f（x）=log₂（2x+1）不合題意，舍去（2分）
②

p＞1 △＜0

⇒

p＞1 p＞2或 p＜ 1 2

⇒p＞2．（5分）
③若p＜1，不合題意，舍去（6分）
綜上：p的取值范圍是（2，+∞）（7分）
（2）
①p=1時，f（x）=log₂（2x+1）∈R符合題意（9分）
②

p＞1 △≥0

⇒

p＞1 1 2 ≤ p≤2

⇒1＜p≤2．（12分）
③若p＜1，不合題意，舍去（13分）
綜上：p的取值范圍是[1，2]（14分）

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域為R與值域為R的區(qū)別；
解決二次函數(shù)問題常畫出二次函數(shù)的圖象結(jié)合圖象寫出需滿足的條件．