【題目】設(shè)橢圓M:的左頂點(diǎn)為、中心為,若橢圓M過點(diǎn),且 .
(1)求橢圓M的方程;
(2)若△APQ的頂點(diǎn)Q也在橢圓M上,試求△APQ面積的最大值;
(3)過點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線交橢圓M于兩點(diǎn),且,求證:直線恒過一個(gè)定點(diǎn).
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)由,可知,
又點(diǎn)坐標(biāo)為故,可得,
因?yàn)闄E圓M過點(diǎn),故,可得,
所以橢圓M的方程為.
(2)AP的方程為,即,
由于是橢圓M上的點(diǎn),故可設(shè),
所以
當(dāng),即時(shí),取最大值.
故的最大值為.
法二:由圖形可知,若取得最大值,則橢圓在點(diǎn)處的切線必平行于,且在直線的下方.
設(shè)方程為,代入橢圓M方程可得,
由,可得,又,故.
所以的最大值.
(3)直線方程為,代入,可得
,,
又故,,
同理可得,,又且,可得且,
所以,,,
直線的方程為,
令,可得.
故直線過定點(diǎn).
(法二)若垂直于軸,則,
此時(shí)與題設(shè)矛盾.
若不垂直于軸,可設(shè)的方程為,將其代入,
可得,可得,
又,
可得,
故,
可得或,又不過點(diǎn),即,故.
所以的方程為,故直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)和直線l: 的距離相等.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡E的方程;
(Ⅱ)已知不與垂直的直線與曲線E有唯一公共點(diǎn)A,且與直線的交點(diǎn)為,以AP為直徑作圓.判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
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【題目】在一次小型抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,抽獎(jiǎng)規(guī)則如下:一個(gè)不透明的口袋中共有6個(gè)大小相同的球,它們是1個(gè)紅球,1個(gè)黃球,和4個(gè)白球,從中抽到紅球中50元,抽到黃球中10元,抽到白球不中獎(jiǎng).某人從中一次性抽出兩球,求:
(1)該人中獎(jiǎng)的概率;
(2)該人獲得的總獎(jiǎng)金X(元)的分布列和均值E(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1 , 設(shè)AB1的中點(diǎn)為D,B1C∩BC1=E.
求證:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的方程為,過點(diǎn)的一條直線與拋物線交于兩點(diǎn),若拋物線在兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)直線與直線的夾角為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列{bn}滿足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}為等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
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