Question

設(shè)函數(shù)f（t）對任意的整數(shù)x、y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，且f（1）=1．
（I）當t∈Z時，用t的代數(shù)式表示g（t）=f（t+1）-f（t）；
（II）當t∈Z時，求函數(shù)f（t）的解析式；
（Ⅲ）如果x∈[-1，1]，a∈R，且恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）對抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，進行賦值，分別令x=t，y=1，代入化簡即可得到結(jié)論；
（II）由（I）知，分別令t=1，2，3，…，得出t-1個式子，將這t-1個式子相加后化簡即可得到函數(shù)f（t）的解析式；
（III）由（II）可知，從而不等式，可轉(zhuǎn)化為1+2^x+3^x+4^x+…+2012^x＞2013^x•a，也即最后利用而函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題即可求出實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（I）由題設(shè)可令x=t，y=1，得f（t+1）=f（t）+f（1）+2t
∵f（1）=1
∴f（t+1）=f（t）+1+2t
∴…（3分）
（II）由（I）知
∴f（2）-f（1）=2×1+1，
f（3）-f（2）=2×2+1，
f（4）-f（3）=2×3+1，
…，

∴f（t）-f（1）=2[1+2+3+…+（t+1）]+（t-1）=t²-1
∴當t∈Z時，函數(shù)f（t）的解析式為…（7分）．
（III）由（II）可知，
所以不等式，
可轉(zhuǎn)化為1+2^x+3^x+4^x+…+2012^x＞2013^x•a
也即…（9分）
而函數(shù)在x∈[-1，1]上單調(diào)減，
所以要使x∈[-1，1]，恒成立，
則有a＜g（x）_min，
而，
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1006）…（12分）．
點評：本題考查抽象函數(shù)的求值、計算與證明問題，抽象函數(shù)是相對于函數(shù)有具體解析式而言的，賦值法是解決抽象函數(shù)的一把“利劍”，本題屬于中檔題．