Question

【題目】已知， ．

（1）求在點(diǎn)處的切線；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）當(dāng)， 時(shí)，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出在處的導(dǎo)數(shù)值，即為切線斜率，代入直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)大于0恒成立，當(dāng)a＜0時(shí)求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由零點(diǎn)對(duì)函數(shù)的定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）令，求其導(dǎo)函數(shù)，得到，故， 從而證得答案．

試題解析：

（1），

故在處的切線為．

（2）；

①當(dāng)時(shí)， 恒成立，則在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（3）先證明： 時(shí)， ，

令，

則時(shí)， ， 單調(diào)遞減，故，

即．

故，

令

則（），

而，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

由于，故，

所以在內(nèi)恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞增，

，

所以，

故問(wèn)題得證．