Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且△PF1F2的面積為2．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)斜率為1的直線與以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓C交于C，D兩點(diǎn)，且（），當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2).

【解析】

（1）根據(jù)的面積求得的值，再利用橢圓過(guò)點(diǎn)及，求得的值，從而求得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，由直線和圓、橢圓都相交，求得，再利用弦長(zhǎng)公式分別計(jì)算，，從而建立的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)取得最小值時(shí)，可求得的值，從而得到直線的方程.

解：（1）由的面積可得，即，∴．①

又橢圓過(guò)點(diǎn)，∴．②

由①②解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，

由弦長(zhǎng)公式可得．

將代入橢圓方程，得，

由判別式，解得．

由直線和圓相交的條件可得，即，也即，

設(shè)，，則，，

由弦長(zhǎng)公式，得．

由，得．

∵，∴，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，

此時(shí)直線的方程為．