Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),短軸長(zhǎng)為2,一條準(zhǔn)線(xiàn)的方程為l:x=2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)M是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線(xiàn)與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線(xiàn)段ON的長(zhǎng)為定值.

Answer 1

(1) +y²=1   (2)見(jiàn)解析

(1)∵橢圓C的短軸長(zhǎng)為2,橢圓C的一條準(zhǔn)線(xiàn)為l:x=2,
∴不妨設(shè)橢圓C的方程為+y²=1.
∴==2,即c=1.
∴橢圓C的方程為+y²=1.
(2)F(1,0),右準(zhǔn)線(xiàn)為l:x=2.設(shè)N(x₀,y₀),
則直線(xiàn)FN的斜率為k_FN=,直線(xiàn)ON的斜率為k_ON=.
∵FN⊥OM,∴直線(xiàn)OM的斜率為k_OM=-.
∴直線(xiàn)OM的方程為y=-x,
點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2,-).
∴直線(xiàn)MN的斜率為k_MN=.
∵M(jìn)N⊥ON,∴k_MNk_ON=-1.
∴·=-1.
∴+2(x₀-1)+x₀(x₀-2)=0,即+=2.
∴ON=為定值.