【題目】已知拋物線： ，定點(diǎn)（常數(shù)）的直線與曲線相交于、兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證：

（2）若，以為直徑的圓的位置是否恒過一定點(diǎn)？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）證明見解析（2））以為直徑的圓恒過定點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）要證明∠AED=∠BED，根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，只要證KAE=-KBE即可，討論直線AB的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，即可得證；（2）設(shè)動(dòng)直線l方程為x=ty+b，表示出B坐標(biāo)，聯(lián)立l與拋物線解析式，消去x得到關(guān)于y的方程，根據(jù)根的判別式等于0得出t與b的關(guān)系式，進(jìn)而設(shè)出A與O的坐標(biāo)，表示出向量AO與向量BO根據(jù)圓周角定理得到兩向量垂直，即數(shù)量積為0，列出關(guān)系式，確定出當(dāng)m=1，n=0時(shí)，上式對(duì)任意x∈R恒成立，即可得出使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)O，以及此時(shí)O的坐標(biāo).

試題解析：（1）（a）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性有， ；

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，依題意，

可設(shè)直線的方程為（， ）

， ，則、兩點(diǎn)的坐標(biāo)

滿足方程組

消去并整理，得

，

設(shè)直線和的斜率分別為， ，則

，

.

綜合（a）（b）可知.

（2）以為直徑的圓恒過定點(diǎn).提示：證明

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】男女共名同學(xué)從左至右排成一排合影，要求左端排男同學(xué)，右端排女同學(xué)，且女同學(xué)至多有人排在一起，則不同的排法種數(shù)為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求直方圖中x的值;

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);

(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?

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【題目】從2016年1月1日起全國(guó)統(tǒng)一實(shí)施全面兩孩政策. 為了解適齡民眾對(duì)放開

生二胎政策的態(tài)度，某市選取70后作為調(diào)查對(duì)象，隨機(jī)調(diào)查了10人，其中打算生二胎

的有4人，不打算生二胎的有6人.

(1)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記打算生二胎的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若以這10人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù)，且以頻率作為概率，從該市70后中隨機(jī)抽取3人，記打算生二胎的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】某企業(yè)為了更好地了解設(shè)備改造前后與生產(chǎn)合格品的關(guān)系，隨機(jī)抽取了180件產(chǎn)品進(jìn)行分析，其中設(shè)備改造前的合格品有36件，不合格品有49件，設(shè)備改造后生產(chǎn)的合格品有65件，不合格品有30件.根據(jù)所給數(shù)據(jù)：

⑴寫出列聯(lián)表；⑵判斷產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造是否有關(guān)，說明理由.

附： ，

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【題目】設(shè)函數(shù)（）.

（1）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（3）令， ，設(shè)， ， 是曲線上相異三點(diǎn)，其中.求證： .

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系，將曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系， 的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求曲線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）過原點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條直線與分別交曲線于、和、，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最大時(shí)，求直線的普通方程．

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分?jǐn)?shù)大于等于120分鐘

分?jǐn)?shù)不足120分

合計(jì)

周做題時(shí)間不少于15小時(shí)

4

22

周做題時(shí)間不足15小時(shí)

合計(jì)

50

（Ⅰ）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有99%以上的把握認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；

（Ⅱ）（�。┌凑辗謱映闃樱谏鲜鰳颖局�，從分?jǐn)?shù)大于等于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到的不足120分且周做題時(shí)間不足15小時(shí)的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

（ii） 若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求這些人中周做題時(shí)間不少于15小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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【題目】已知函數(shù)，設(shè)為曲線在點(diǎn)處的切線，其中.

（Ⅰ）求直線的方程（用表示）；

（Ⅱ）求直線在軸上的截距的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)直線分別與曲線和射線（）交于， 兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)的值.

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