Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）當，且時，判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，求出極值點；若不存在，說明理由；

（2）若，對任意的正整數(shù)，當時，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析; （1）令 ，求出 的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可；
（Ⅱ） 時，求 的導數(shù)，通過討論 是奇數(shù)，偶數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論即可．

試題解析：（1）由已知得函數(shù)的定義域為，

當時，，所以，

當時，由得，此時

當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.

當時，在處取得極小值，極小值點為.

（2）證：因為，所以.

當為偶數(shù)時，令，則

∴所以當時，單調(diào)遞增，的最小值為.因此

所以成立.

當為奇數(shù)時，要證，由于，所以只需證.

令，則，

當時，單調(diào)遞增，又，

所以當時，恒有,命題成立.