Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．
（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；
（2）若 ，試判斷函數(shù)y=f（x）在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求此時(shí)y=f（x）所有零點(diǎn)之和的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：

當(dāng)a=﹣1時(shí)，

由f（x）=1得 或

解得 x=0，1，﹣2，即解集為{0，1，﹣2}．

方法二：當(dāng)a=﹣1時(shí)，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0

∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2

即解集為{0，1，﹣2}．

（2）解：

當(dāng)x≥a時(shí)，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵ ，

∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0

得 ，

且

先判斷2﹣a，與 大小：

∵ ，即a＜x1＜x2，故當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)x＜a時(shí)，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵ ，

∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0

得 ，

同上可判斷x3＜a＜x4，故x＜a時(shí)，f（x）存在一個(gè)零點(diǎn)．

綜上可知當(dāng) 時(shí)，f（x）存在三個(gè)不同零點(diǎn)．

且

設(shè) ，易知g（a）在 上單調(diào)遞增，

故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）

【解析】（1）方法一：化簡(jiǎn)分段函數(shù)，分段求解方程的根即可，方法二：當(dāng)a=﹣1時(shí)，利用f（x）=1化簡(jiǎn)求解即可．（2）化簡(jiǎn)分段函數(shù)，通過(guò)當(dāng)x≥a時(shí)，當(dāng)x＜a時(shí)，求出函數(shù)的零點(diǎn)，推出 ，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，求解即可．