Question

如圖：已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，高AA₁=4

2

，P為CC₁的中點(diǎn)，AC、BD交于O
（I）求證：BD⊥面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求證：BD⊥OP；
（Ⅲ）求三棱錐P-A₁DB的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，要證BD⊥面A₁ACC₁，只證BD⊥AC，BD⊥AA₁即可；
（2）由（1），利用線面垂直的性質(zhì)可證BD⊥OP；
（3）以△BDP為底，點(diǎn)A₁到面BDP的距離為高，根據(jù)錐體體積公式可求，其中點(diǎn)A₁到面BDP的距離可建立坐標(biāo)系用向量求得；

解答：解：（1）證明：在長(zhǎng)方體AC₁中，∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，∴對(duì)角線BD⊥AC．
又∵A₁A⊥平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
AC∩A₁A=A，AC?面A₁ACC₁，A₁A?面A₁ACC₁；
∴BD⊥面A₁ACC₁．
（2）由（1）知，BD⊥面A₁ACC₁，且OP?面A₁ACC₁．
∴BD⊥OP．
（3）分別以

DA

，

DC

，

DD1

的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（4，4，0），A₁（4，0，4

2

），P（0，4，2

2

），

BA1

=（0，-4，4

2

），

DP

=（0，4，2

2

），

DB

=（4，4，0），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面DBP的一個(gè)法向量，
則

n • DP =0 n • DB =0

，即

4y+2 2 z=0 4x+4y=0

，取

n

=（1，-1，

2

），
點(diǎn)A₁到平面平面DBP的距離d=|

BA1

|×|cos＜

n

，

BA1

＞|=|

BA1

|×|

BA1 • n

| BA1 || n |

|=

12

2

=6，
BD=4

2

，OP=

OC2+CP2

=

(2 2 )2+(2 2 )2

=4，
則S_△BDP=

1

2

×BD×OP=

1

2

×4

2

×4=8

2

，
所以三棱錐P-A₁DB的體積V=

1

3

×S_△BDP×d=

1

3

×8

2

×6=16

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定、線面垂直的性質(zhì)及錐體的體積求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬中檔題．