Question

如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=2，AA₁=1，直線BD與平面AA₁B₁B所成的角為30°，AE垂直BD于E，F(xiàn)為A₁B₁的中點(diǎn)．
（I）求異面直線AE與BF所成的角；
（II）求平面BDF與平面AA₁B所成二面角（銳角）的大小
（III）求點(diǎn)A到平面BDF的距離．

Answer 1

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分析：解法一： 在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺(tái)中，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．比如此題中，我們可以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AA1為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．這種解法的好處就是：①解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來解決．②即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁媯�(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可． （I）∵ AE =( 1 2 ， 3 2 ，0)， BF =(-1，0，1)，∴cos＜ AE ， BF ＞= AE . BF | AE || BF | ．即異面直線AE、BF所成的角為arccos 2 4 ． （II）易知平面AA1B的一個(gè)法向量 m =(0，1，0)．設(shè) n =(x，y，z)是平面BDF的一個(gè)法向量，即平面BDF與平面AA1B所成二面角（銳角）大小為向量． （III）點(diǎn)A到平面BDF的距離，即 AB 在平面BDF的法向量 n 上的投影的絕對(duì)值，所以距離d=|| AB |．cos＜ AB ， n ＞| 解法二： （I）求異面直線所成的角，也可以做適當(dāng)?shù)钠揭�，把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在相關(guān)的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移時(shí)主要是根據(jù)中位線和中點(diǎn)條件，或者是特殊的四邊形，三角形等．連接B1D1，過F作B1D1的垂線，垂足為K，則FK∥AE．∴∠BFK為異面直線BF與AE所成的角． （II）二面角的度量關(guān)鍵在于找出它的平面角，構(gòu)造平面角常用的方法就是三垂線法．由于DA⊥面AA2B，由A作BF的垂線AG，垂足為G，連接DG，由三垂線定理知BG⊥DG．∴∠AGD即為平面BDF與平面AA1B所成二面角的平面角． （III）在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離是一個(gè)常見的題型，同時(shí)求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．找（作）出一個(gè)過該點(diǎn)的平面與已知平面垂直，然后過該點(diǎn)作其交線的垂線，則得點(diǎn)到平面的垂線段．由（II）知平面AFD是平面BDF與平面AA1B所成二面確的平面角所在的平面∴面AFD⊥面BDF．在Rt△ADF，由A作AH⊥DF于H，則AH即為點(diǎn)A到平面BDF的距離．

解答：解：法一：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y 軸，AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖． 由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F(xiàn)（1，0，1）． 又AD⊥平面AA1B1B，從而BD與平面AA1B1B所成的角即為∠DBA=30°， 又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD= 2 3 3 ， 從而易得E( 1 2 ， 3 2 ，0)，D(0， 2 3 3 ，0)． （I）∵ AE =( 1 2 ， 3 2 ，0)， BF =(-1，0，1)， ∴cos＜ AE ， BF ＞= AE . BF | AE || BF | = - 1 2 2 =- 2 4 ． 即異面直線AE、B所成的角為arccos 2 4 ．] （II）易知平面AA1B的一個(gè)法向量 m =(0，1，0)． 設(shè) n =(x，y，z)是平面BDF的一個(gè)法向量， BD =(-2， 2 3 3 ，0)． 由 n ⊥ BF n ⊥ BD ? n . BF =0 n . BD =0 ? -x+z=0 2x- 2 3 3 y=0 ? x=z 3 x=y ， 取 n =(1， 3 ，1)，∴cos＜ m ， n ＞= m . n | m || n | = 3 1× 5 = 15 5 ． 即平面BDF與平面AA1B所成二面角（銳角）大小為arccos 15 5 ． （III）點(diǎn)A到平面BDF的距離，即 AB 在平面BDF的法向量 n 上的投影的絕對(duì)值， 所以距離d=|| AB |．cos＜ AB ， n ＞| || AB |. AB . n | AB || n | = | AB . n | | n | = 2 5 = 2 5 5 . 所以點(diǎn)A到平面BDF的距離為 2 5 5 ． 解法二：（I）連接B1D1，過F作B1D1的垂線， 垂足為K，∵BB1與兩底面ABCD，A1B1C1D1都垂直， ∴ FK⊥BB1 FK⊥B1D1 B1D1∩BB1=B1 ?FK⊥平面BDD1B1， 又 AE⊥BB1 AE⊥BD BB1∩BD=B ?AE⊥平面BDD1B1， 因此FK∥AE．∴∠BFK為異面直線BF與AE所成的角． 連接BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK， 從而△BKF為Rt△． 在Rt△B1KF和Rt△B1D1A1中， 由 FK B1F = A1D1 B1D1 得FK= A1D1．B1F B1D1 = AD. 1 2 AB BD = 2 3 3 ×1 22+( 2 3 3 )2 = 1 2 ． 又BF= 2 ，∴cos∠BFK= FK BF = 2 4 ． ∴異面直線BF與AE所成的角為arccos 2 4 ． （II）由于DA⊥面AA2B，由A作BF的垂線AG，垂足為G， 連接DG，由三垂線定理知BG⊥DG． ∴∠AGD即為平面BDF與平面AA1B所成二面角的平面角， 且∠DAG=90°，在平面AA1B中，延長(zhǎng)BF與AA1交于 點(diǎn)S，∵F為A2B1的中點(diǎn)，A1F∥= 1 2 AB， 即SA=2A1A=2=AB，∴Rt△BAS為等腰直角三角形， 垂足G點(diǎn)為斜邊SB的中點(diǎn)F，即F、G重合． 易得AG=AF= 1 2 SB= 2 ．在Rt△BAS中，AD= 2 3