已知是橢圓上兩點，點的坐標(biāo)為.
（1）當(dāng)關(guān)于點對稱時，求證：；
（2）當(dāng)直線經(jīng)過點時，求證：不可能為等邊三角形.

（1）詳見解析，（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）利用“點代法”求點的坐標(biāo)關(guān)系，在求解過程中證明結(jié)論.因為關(guān)于點對稱，所以，代入橢圓方程得，兩式相減得，所以（2）本題實質(zhì)為“弦中點”問題，設(shè)中點為，由“點差法”得又假設(shè)為等邊三角形時，有所以這與弦中點在橢圓內(nèi)部矛盾，所以假設(shè)不成立.
試題解析：（1）證明：
因為在橢圓上，
所以                 1分
因為關(guān)于點對稱，
所以，                2分
將代入②得③，
由①和③消解得，                     4分
所以.                     5分
（2）當(dāng)直線斜率不存在時，，
可得，不是等邊三角形.           6分
當(dāng)直線斜率存在時，顯然斜率不為0.
設(shè)直線：，中點為，
聯(lián)立消去得，         7分

由，得到①                 8分
又,
所以，
所以                     10分
假設(shè)為等邊三角形，則有，
又因為，
所以，即，          11分
化簡，解得或       12分
這與①式矛盾，所以假設(shè)不成立.
因此對于任意不能使得,故不能為等邊三角形.      14分
考點：弦中點問題，點代法求點的坐標(biāo)

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個頂點和兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線與橢圓交于、兩點，試問，是否存在軸上的點，使得對任意的，為定值，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的中心為原點，長軸在軸上，離心率，又橢圓上的任一點到橢圓的兩焦點的距離之和為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若平行于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點、，過、兩點作圓心為的圓，使橢圓上的其余點均在圓外.求的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動直線與曲線有且只有一個公共點，且與直線相交于點.
求證：以為直徑的圓過定點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（1）已知定點、，動點N滿足（O為坐標(biāo)原點），，，，求點P的軌跡方程.
（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點分別為，點在橢圓上，且異于點，直線與直線分別交于點，

（�。┰O(shè)直線的斜率分別為、，求證：為定值；
（ⅱ）當(dāng)點運動時，以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？請證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，圓與直線相切于點，與正半軸交于點，與直線在第一象限的交點為.點為圓上任一點，且滿足，動點的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線和分別交曲線于點、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時的的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點A（1，0）及圓，C為圓B上任意一點，求AC垂直平分線與線段BC的交點P的軌跡方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知焦點在軸上的橢圓經(jīng)過點，直線
交橢圓于不同的兩點．

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求實數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)，使△是以為直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線D的頂點是橢圓C：＝1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
(1)求拋物線D的方程；
(2)過橢圓C右頂點A的直線l交拋物線D于M、N兩點．
①若直線l的斜率為1，求MN的長；
②是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

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