(1)求A與B的值;
(2)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(3)證明不等式>1對(duì)任何正整數(shù)m、n都成立.
(1)解:由已知得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18.
由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B知,
解得A=-20,B=-8.
(2)證法一:由(1)得(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,①
∴(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28,②
②-①得(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20,③
∴(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20,④
④-③得(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.
∵an+1=Sn+1-Sn,∴(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.
又∵5n+2≠0,∴an+3-2an+2+an+1=0,即an+3-an+2=an+2-an+1,n≥1.
又a3-a2=a2-a1=5,∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
證法二:由已知,S1=a1=1,
又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8且5n-8≠0,
∴數(shù)列{Sn}是唯一確定的,因而數(shù)列{an}是唯一確定的.設(shè)bn=5n-4,
則數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和Tn=,
于是(5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8)=-20n-8.
由唯一性得bn=an,即數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
(3)證明:由(2)可知an=1+5(n-1)=5n-4,
要證>1,
只要證5amn>1+am·an+,
因?yàn)閍mn=5mn-4,
am·an=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,
故只要證5(5mn-4)>1+25mn-20(m+n)+16+,
即只要證20m+20n-37>.
因?yàn)?SUB>≤am+an=5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)
=20m+20n-37,
所以原命題得證.
深化升華 本小題主要考查等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí),不等式的證明方法,考查思維能力,運(yùn)算能力.
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S1 |
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S2 |
1 |
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Sn |
5•2n |
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S4 |
a3 |
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