Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）若在區(qū)間上存在不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，求的取值范圍；

（3）設(shè)的圖象為，的圖象為，若直線與分別交于，問是否存在整數(shù)，使在處的切線與在處的切線互相平行，若存在，求出的所有值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，無極小值；（2）；（3）.

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，并求出方程的根為，判斷為函數(shù)的極大值點(diǎn)，再代入求極大值；

（2）問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)在區(qū)間存在極值點(diǎn)；

（3）根據(jù)兩條切線互相平行，得到斜率相等，從而構(gòu)造出的方程，再從方程中把分離出來，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，研究函數(shù)的值域，得到的取值范圍后，再根據(jù)為整數(shù)，求得的值.

（1）當(dāng)時，，，

當(dāng)時，得，當(dāng)時，得，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以，無極小值.

（2）令，則

，

由題意知在區(qū)間存在極值點(diǎn)，所以在有解，

所以在有解，

令，則，

當(dāng)時，恒成立，所以在單調(diào)遞增，且，

所以.

（3），則，

，則，

設(shè)，，

在點(diǎn)處的切線的斜率，在點(diǎn)處的切線的斜率，

假設(shè)存在兩切線平行，所以，即在有解，

所以在有解，令，則，，

當(dāng)時，得；當(dāng)時，得，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以，

所以在恒成立，所以在單調(diào)遞減，

所以，則，又為整數(shù)，

所以或.