Question

已知

a

=(1，x)，

b

=(x2+x，-x)，m為非負(fù)實(shí)數(shù)，記f（x）=m(

a

•

b

)2-(m+1)

a

•

b

+1
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）求使f（x）＜0成立的x的范圍

Answer 1

分析：（I）由f（x）=m(

a

•

b

)2-(m+1)

a

•

b

+1，結(jié)合已知中

a

=(1，x)，

b

=(x2+x，-x)，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算法則，我們易求出f（x）的表達(dá)式．
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論，我們易得到一個(gè)關(guān)于x的不等式，由于該不等式為類二次不等式（二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)），故可分類討論進(jìn)行解答．

解答：解：（I）

a

•

b

=x2+x-x2=x
f（x）=mx²-（m+1）x+1（3分）
（II）f(x)=m(

a

•

b

)2-(m+1)

a

•

b

+1＜0?mx2-(m+1)x+1＜0
當(dāng)m=0時(shí)，x＞1（16分）
0＜m＜1時(shí)，1＜x＜

1

m

（9分）
m=1時(shí)，x不存在（12分）
m＞1時(shí)，

1

m

＜x＜1（15分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，其中根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算公式計(jì)算出函數(shù)f（x）的表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵．