【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(Ⅱ)判斷當時,與的圖象公切線的條數(shù),并說明理由.
【答案】(Ⅰ)當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(Ⅱ)兩條,理由見解析.
【解析】
(Ⅰ)對函數(shù)進行求導,然后分類討論,根據(jù)導函數(shù)的正負性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)利用導數(shù)的幾何意義求出與的圖象的切線,將兩個切線方程聯(lián)立,消元得到一個方程,根據(jù)方程解的個數(shù)就能確定公切線的條數(shù),構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的導數(shù),結(jié)合零點存在原理進行求解即可.
(I),
當時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當時,由得:;由得:
所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)函數(shù)在點處的切線方程為,
即,
函數(shù)在點處的切線方程為,即.
若與的圖象有公切線.
則
由①得代入②整理得
③
由題意只須判斷關(guān)于的方程在上解的個數(shù)
令
令,解得
0 | |||
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
且圖象在上連續(xù)不斷
方程在及上各有一個根
即與的圖象有兩條公切線.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某村共有100戶農(nóng)民,且都從事蔬菜種植,平均每戶的年收入為2萬元.為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),該鎮(zhèn)政府決定動員部分農(nóng)民從事蔬菜加工.據(jù)估計,若能動員戶農(nóng)民從事蔬菜加工,則剩下的繼續(xù)從事蔬菜種植的農(nóng)民平均每戶的年收入比上一年提高,而從事蔬菜加工的農(nóng)民平均每戶的年收入為萬元.
(1)在動員戶農(nóng)民從事蔬菜加工后,要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前100戶農(nóng)民的總年收入,求的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,要使這100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工的農(nóng)民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國是世界第一產(chǎn)糧大國,我國糧食產(chǎn)量很高,整體很安全按照14億人口計算,中國人均糧食產(chǎn)量約為950斤﹣比全球人均糧食產(chǎn)量高了約250斤.如圖是中國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站中2010﹣2019年,我國糧食產(chǎn)量(千萬噸)與年末總?cè)丝冢ㄇf人)的條形圖,根據(jù)如圖可知在2010﹣2019年中( )
A.我國糧食年產(chǎn)量與年末總?cè)丝诰鹉赀f增
B.2011年我國糧食年產(chǎn)量的年增長率最大
C.2015年﹣2019年我國糧食年產(chǎn)量相對穩(wěn)定
D.2015年我國人均糧食年產(chǎn)量達到了最高峰
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【題目】長方、塹堵、陽馬、鱉臑這些名詞出自中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)商功》.其中陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱呼.取一長方,如圖長方體ABCD﹣A1B1C1D1,按平面ABC1D1斜切一分為二,得到兩個一模一樣的三棱柱.稱該三梭柱為塹堵,再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開,得四棱錐和三棱錐各一個,其中以矩形為底另有一棱與底面垂直的四梭錐D1﹣ABCD稱為陽馬,余下的三棱錐D1﹣BCC1是由四個直角三角形組成的四面體稱為鱉臑.已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=5,BC=4,AA1=3,按以上操作得到陽馬.則該陽馬的最長棱長為_____.
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【題目】已知曲線的極坐標方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線的參數(shù)方程與直線的普通方程;
(Ⅱ)設(shè)點為曲線上的動點,點和點為直線上的點,且.求面積的取值范圍.
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【題目】新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服緊缺,當?shù)卣疀Q定為防護服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴大生產(chǎn)提供(萬元)的專項補貼,并以每套80元的價格收購其生產(chǎn)的全部防護服.A公司在收到政府x(萬元)補貼后,防護服產(chǎn)量將增加到(萬件),其中k為工廠工人的復工率,A公司生產(chǎn)t萬件防護服還需投入成本(萬元).
(1)將A公司生產(chǎn)防護服的利潤y(萬元)表示為補貼x(萬元)的函數(shù);
(2)對任意的(萬元),當復工率k達到多少時,A公司才能不產(chǎn)生虧損?(精確到0.01)
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【題目】產(chǎn)量相同的機床一和機床二生產(chǎn)同一種零件,在一個小時內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù)分別記為,,它們的分布列分別如下:
0 | 1 | 2 | 3 | |
0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
0 | 1 | 2 | |
0.2 | 0.6 | 0.2 |
(1)哪臺機床更好?請說明理由;
(2)記表示臺機床小時內(nèi)共生產(chǎn)出的次品件數(shù),求的分布列.
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【題目】如圖,GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線,某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建設(shè)一倉庫,設(shè),并在公路北側(cè)建造邊長為的正方形無頂中轉(zhuǎn)站CDEF(其中EF在GH上),現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路AB,AC,已知AB=AC+1,且.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并求出定義域;
(2)如果中轉(zhuǎn)站四堵圍墻造價為10萬元/km,兩條道路造價為30萬元/km,問:取何值時,該公司建設(shè)中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價M最低.
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,.
(1)求證:B1C⊥AB;
(2)若∠CBB1=60°,AC=BC,且點A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點O,求二面角B﹣AA1﹣C的余弦值.
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