Question

已知函數(shù)f(x)=mx-2lnx-

m

x

(m∈R)
（1）若f'（1）=2，求m的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)直接由f'（1）=2列式求m的值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，得其導(dǎo)函數(shù)[1，+∞）上大于等于0或小于等于0恒成立，然后利用基本不等式求解m的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

mx2-2x+m

x2

，由已知，f'（1）=m-2+m=2，
所以m=2；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，則在[1，+∞）上
有f′(x)=

mx2-2x+m

x2

≥0恒成立，或f′(x)=

mx2-2x+m

x2

≤0恒成立
即m≥

2x

x2+1

，或m≤

2x

x2+1

對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
因?yàn)?span id="uksbpey" class="MathJye">

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

，
而當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，x+

1

x

∈[2，+∞），故

2x

x2+1

∈(0，1]，
所以m≥1或m≤0．
即m的取值范圍是m≥1或m≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查了分離變量法，是中檔題．