Question

【題目】已知， ， ，斜率為的直線過(guò)點(diǎn)，且和以為圓相切.

（1）求圓的方程；

（2）在圓上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出所有的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由；

（3）若不過(guò)的直線與圓交于， 兩點(diǎn)，且滿足， ， 的斜率依次為等比數(shù)列，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）或；（3）

【解析】試題分析：根據(jù)直線與圓C相切，則點(diǎn)C到直線的距離為圓的半徑，寫(xiě)出圓的方程；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件表示，與圓的方程聯(lián)立方程組，解方程組求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；存在性問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，首先假設(shè)直線存在，分直線m的斜率不存在和存在兩種情況研究，若存在不妨設(shè)為k，根據(jù)要求求出斜率k的值，得出這樣的直線存在，給出斜率k.

試題解析：

（1）： ，

∵直線和圓相切∴設(shè)圓的半徑為，則，

∴圓： ；

（2）設(shè)，則由，得，

又∵點(diǎn)在圓上，∴，

相減得： ，

代入，得，

解得或，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

（3）若直線的斜率不存在，則的斜率也不存在，不合題意：

設(shè)直線： ， ， ，

直線與圓聯(lián)立，得，

由，得，

即。

整理得： ，

∵不過(guò)點(diǎn)，∴，∴上式化為.

將代入得： ，

即，

∵，∴，

∴直線的斜率為.