Question

【題目】函數(shù).

（I）函數(shù)在點處的切線與直線垂直，求a的值；

（II）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（III）不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）（II）當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增（III）．

【解析】試題分析：（I）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩直線垂直的判定進行求解；（II）求導(dǎo)，討論二次方程的根的個數(shù)、根的大小關(guān)系，進而判定其單調(diào)性；（III）分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的求值問題.

試題解析：（I）函數(shù)定義域為

由題意 ，解得.

（II）

（i）當 時，，函數(shù)f(x) 在 上單調(diào)遞增；

（ii）當 時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增

（iii）當 時，，函數(shù)f(x) 在 上單調(diào)遞增；

綜上所述：當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增

（III）等價于

令

在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)g(x)為減函數(shù)；

在區(qū)間上，函數(shù)g(x)為增函數(shù)；

所以實數(shù)的范圍是．