【題目】如圖，幾何體中，，均為邊長為2的正三角形，且平面平面，四邊形為正方形.

（1）若平面平面，求證:平面平面；

（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取的中點,的中點,連接.可證明,結(jié)合,可知四邊形為平行四邊形.進(jìn)而由和及平面與平面平行的判定定理證明平面平面;

（2）連結(jié),可知即為二面角的平面角.以為原點建立空間直角坐標(biāo)系.由線段關(guān)系寫出各個點的坐標(biāo),求得平面的法向量,即可根據(jù)直線與平面夾角的向量關(guān)系求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：取的中點,的中點,連接.如下圖所示:

因為,且平面平面,

所以平面,

同理平面,

所以,

又因為,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,平面,

又, 平面,

又因為和交于點

所以平面平面.

（2）連結(jié),則,

又

所以為二面角的平面角,

所以

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則

所以

設(shè)平面的一個法向量是,

則,即,

令,即,

又因為,

所以,

即所求的角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，且為棱中點，為棱中點.

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（1）求證：平面；

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【題目】哈三中團委組織了“古典詩詞”的知識競賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生（男女各30名），將其成績分成六組，，…，，其部分頻率分布直方圖如圖所示.

（Ⅰ）求成績在的頻率，補全這個頻率分布直方圖，并估計這次考試的眾數(shù)和中位數(shù)；

（Ⅱ）從成績在和的學(xué)生中選兩人，求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率；

（Ⅲ）我們規(guī)定學(xué)生成績大于等于80分時為優(yōu)秀，經(jīng)統(tǒng)計男生優(yōu)秀人數(shù)為4人，補全下面表格，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男

4

30

女

30

合計

60

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過伸縮變換后得到曲線．以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

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（2）設(shè)點是上一動點，求點到直線的距離的最大值．

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