【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=120°,對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O,M為OC中點(diǎn).

(1)求證:BD⊥PM
(2)若二面角O﹣PM﹣D的正切值為2 ,求 的值.

【答案】
(1)證明:∵四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,

又BD平面ABCD,∴BD⊥PA,

∵底面ABCD是菱形,

∴BD⊥AC,

又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,

又PM平面PAC,

∴BD⊥PM.


(2)解:過(guò)O作OH⊥PM交PM于H,連HD,

因?yàn)镈O⊥平面PAC,由三垂線(xiàn)定理可得DH⊥PM,

所以∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角,

設(shè)PA=b,AD=4,

∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形,∠BAD=120°,

∴OD=2 ,OM=1,AM=3,且 =

從而OH= = =

∴tan∠OHD= = ,

所以16b2=144,解得b=3.(舍負(fù)值)

∴PA的長(zhǎng)為3.

=


【解析】(1)根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定,先證明BD⊥平面PAC,利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可證明BD⊥PM.(2)過(guò)O作OH⊥PM交PM于H,連HD,則∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角,利用二面角O﹣PM﹣D的正切值為2 ,即可求出 的值.
【考點(diǎn)精析】掌握空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系是解答本題的根本,需要知道相交直線(xiàn):同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線(xiàn):同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線(xiàn): 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】現(xiàn)有4人去旅游,旅游地點(diǎn)有A,B兩個(gè)地方可以選擇,但4人都不知道去哪里玩,于是決定通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪里玩,擲出能被3整除的數(shù)時(shí)去A地,擲出其他的則去B地.
(1)求這4個(gè)人恰好有1個(gè)人去A地的概率;
(2)用X,Y分別表示這4個(gè)人中去A,B兩地的人數(shù),記ξ=XY,求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),且處取得極值.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)設(shè)函數(shù),是否存在實(shí)數(shù),使得曲線(xiàn)軸有兩個(gè)交點(diǎn),若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某企業(yè)為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo),得到一組銷(xiāo)售數(shù)據(jù)2,,如表所示:

試銷(xiāo)單價(jià)

4

5

6

7

8

9

產(chǎn)品銷(xiāo)量

90

84

83

80

q

68

已知

求表格中q的值;

已知變量x,y具有線(xiàn)性相關(guān)性,試?yán)米钚《朔ㄔ,求產(chǎn)品銷(xiāo)量y關(guān)于試銷(xiāo)單價(jià)x的線(xiàn)性回歸方程參考數(shù)據(jù);

中的回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷(xiāo)量的估計(jì)值記為2,,當(dāng)時(shí),則稱(chēng)為一個(gè)“理想數(shù)據(jù)”試確定銷(xiāo)售單價(jià)分別為4,5,6時(shí)有哪些是“理想數(shù)據(jù)”.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】橢圓)的離心率是,點(diǎn)在短軸上,且

(1)球橢圓的方程;

(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)。是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函f(x)=x2﹣x+alnx.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證f(x2)<

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某小區(qū)規(guī)劃時(shí),計(jì)劃在周邊建造一片扇形綠地,如圖所示已知扇形綠地的半徑為50米,圓心角從綠地的圓弧邊界上不同于A,B的一點(diǎn)P處出發(fā)鋪設(shè)兩條道路PO與均為直線(xiàn)段,其中PC平行于綠地的邊界其中

當(dāng)時(shí),求所需鋪設(shè)的道路長(zhǎng):

若規(guī)劃中,綠地邊界的OC段也需鋪設(shè)道路,且道路的鋪設(shè)費(fèi)用均為每米100元,當(dāng)變化時(shí),求鋪路所需費(fèi)用的最大值精確到1元

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某商品要了解年廣告費(fèi)(單位:萬(wàn)元)對(duì)年銷(xiāo)售額(單位:萬(wàn)元)的影響,對(duì)近4年的年廣告費(fèi)和年銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)作了初步整理,得到下面的表格:

用廣告費(fèi)作解釋變量,年銷(xiāo)售額作預(yù)報(bào)變量,若認(rèn)為適宜作為年銷(xiāo)售額關(guān)于年廣告費(fèi)的回歸方程類(lèi)型,則

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;

(2)已知商品的年利潤(rùn)的關(guān)系式為.根據(jù)(1)的結(jié)果,年廣告費(fèi)約為何值時(shí)(小數(shù)點(diǎn)后保留兩位),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

, .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)分別是正方體的棱上兩點(diǎn),且,給出下列四個(gè)命題:①三棱錐的體積為定值;②異面直線(xiàn)所成的角為;③平面;④直線(xiàn)與平面所成的角為.其中正確的命題為( )

A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①④

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案