Question

【題目】設(shè)函數(shù),.
（1）（I）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）（II）證明：若存在零點(diǎn)，則的區(qū)間（1，]上僅有一個零點(diǎn)。

Answer 1

【答案】
（1）

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，），單調(diào)遞增區(qū)間是；

f(x)在處取得極小值。

（2）

見解答

【解析】
（I）由，（）得.由f(x)=0解得。
f(x)與f(x)在區(qū)間（0，+）上的情況如下：

x	(0,)		()
f'(x)	-		+
f(x)

所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，），單調(diào)遞增區(qū)間是；
f(x)在處取得極小值。
（II）因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以，。
當(dāng)k=e時，f(x)在區(qū)間（1，）上單調(diào)遞減，且,
所以x=時，f(x)在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，且f(1)=0,,
所以f(x)在區(qū)間（1，]上僅有一個零點(diǎn)。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的基本求導(dǎo)法則和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．